В2. В треугольнике АВС углы В и С относятся как 5: 3, а угол А на 80° больше их разности. Найдите углы, на которые высота треугольника AD разбивает угол А.

Решение:

Обозначим углы:

• \( ∠ B = 5x \)
• \( ∠ C = 3x \)
• \( ∠ A = (5x - 3x) + 80° = 2x + 80° \)

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° \)

\( (2x + 80°) + 5x + 3x = 180° \)

\( 10x + 80° = 180° \)

\( 10x = 100° \)

\( x = 10° \)

Теперь найдём значения углов:

• \( ∠ B = 5 × 10° = 50° \)
• \( ∠ C = 3 × 10° = 30° \)
• \( ∠ A = 2 × 10° + 80° = 20° + 80° = 100° \)

Высота AD разбивает угол A на два угла: \( ∠ BAD \) и \( ∠ CAD \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

\( ∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 50° = 40° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD:

\( ∠ CAD = 90° - ∠ C = 90° - 30° = 60° \).

Проверка: \( ∠ BAD + ∠ CAD = 40° + 60° = 100° = ∠ A \).

Ответ: высота AD разбивает угол А на углы 40° и 60°.