СІ. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Определите угол при основании.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Угол при основании \( < BAC = < BCA = \alpha \). Биссектриса CD угла C пересекает сторону AB в точке D. По условию, CD = AB.

Рассмотрим треугольник BCD. Угол CBD = \( < ABC \) = \( 180° - 2\alpha \). Угол BCD = \( \frac{\alpha}{2} \).

Угол BDC = \( 180° - < ABC - < BCD = 180° - (180° - 2\alpha) - \frac{\alpha}{2} = 2\alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2} \).

По теореме синусов для треугольника BCD:

\( \frac{CD}{\sin(< ABC)} = \frac{BC}{\sin(< BDC)} \)

\( \frac{CD}{\sin(180° - 2\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\frac{3\alpha}{2})} \)

\( \frac{CD}{\sin(2\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\frac{3\alpha}{2})} \)

Так как AB = BC, и по условию CD = AB, то CD = BC.

\( \frac{BC}{\sin(2\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\frac{3\alpha}{2})} \)

\( \sin(2\alpha) = \sin(\frac{3\alpha}{2}) \)

Возможны два случая:

1. \( 2\alpha = \frac{3\alpha}{2} \). \( 4\alpha = 3\alpha \) \( \Rightarrow \alpha = 0 \), что невозможно.
2. \( 2\alpha + \frac{3\alpha}{2} = 180° \). \( \frac{4\alpha + 3\alpha}{2} = 180° \) \( \Rightarrow \frac{7\alpha}{2} = 180° \) \( \Rightarrow \alpha = \frac{360°}{7} \).

Проверим, может ли быть \( < BAC = < BCA = \frac{360}{7} \).

\( < ABC = 180° - 2 · \frac{360°}{7} = 180° - \frac{720°}{7} = \frac{1260° - 720°}{7} = \frac{540°}{7} \).

\( < BCD = \frac{1}{2} · \frac{360°}{7} = \frac{180°}{7} \).

\( < BDC = 180° - \frac{540°}{7} - \frac{180°}{7} = 180° - \frac{720°}{7} = \frac{1260° - 720°}{7} = \frac{540°}{7} \).

Таким образом, \( < BDC = < ABC \). Это означает, что треугольник BCD равнобедренный с основанием BD. Следовательно, BC = CD. Это совпадает с условием.

Угол при основании \( < BAC = < BCA = \frac{360°}{7} \).

Ответ: < \(\frac{360}{7}\)° >