2. Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 90° и площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 90° и площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Пусть дан конус с вершиной в точке А, высота конуса АО = 9 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120°, значит, угол между образующей и основанием равен:

$$\angle OAL = \frac{180 - 120}{2} = 30^\circ$$

Из прямоугольного треугольника AOL:

$$OL = AO \cdot tg30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \text{ см} \Rightarrow R = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Рассмотрим сечение, проходящее через две образующие, угол между которыми равен 90°. Площадь сечения:

$$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 sin 90^\circ = \frac{1}{2} L^2$$

где L - образующая конуса. Из прямоугольного треугольника AOL:

$$AL = \frac{AO}{cos30^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ см} \Rightarrow L = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

$$S_{сеч} = \frac{1}{2} (6\sqrt{3})^2 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 3 = 54 \text{ см}^2$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi \text{ см}^2$$

Ответ: $$S_{сеч} = 54 \text{ см}^2$$, $$S_{бок} = 54\pi \text{ см}^2$$