4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. * Диагональ сечения $$d = 10$$ см, плоскость удалена от оси на $$4$$ см, дуга $$90^\circ$$. * Пусть радиус основания цилиндра $$r$$, высота цилиндра $$h$$. * По теореме Пифагора, $$r^2 = 4^2 + x^2$$, где $$x$$ - половина хорды, стягивающей дугу в 90°. Так как дуга 90°, то $$x = r \cdot sin(45^\circ) = \frac{r\sqrt{2}}{2}$$. * Тогда $$r^2 = 16 + \frac{r^2}{2}$$, откуда $$\frac{r^2}{2} = 16$$, и $$r^2 = 32$$, то есть $$r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ см. * Диагональ сечения равна 10 см, и $$h^2 + (2x)^2 = 10^2$$, где $$h$$ - высота цилиндра, а $$2x$$ - сторона прямоугольника в основании. * $$2x = 2 \cdot \frac{r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$$ см. * Тогда $$h^2 + 8^2 = 10^2$$, $$h^2 = 100 - 64 = 36$$, $$h = 6$$ см. * Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6 = 48\pi\sqrt{2}$$ см². Ответ: $$48\pi\sqrt{2}$$ см²