4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Пусть дана хорда основания конуса, длина которой равна 5 см, и эта хорда стягивает дугу 90°. Тогда радиус основания можно найти следующим образом:

$$a = R\sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \text{ см}$$

Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Тогда образующая конуса L будет равна:

$$cos60^\circ = \frac{R}{L} = \frac{\frac{5}{\sqrt{2}}}{L} \Rightarrow L = \frac{5}{\sqrt{2} \cdot cos60^\circ} = \frac{5}{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot 5\sqrt{2} = 25\pi \text{ см}^2$$

Ответ: $$25\pi \text{ см}^2$$