3. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5л см. Найдите диаметр сферы.

3. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5л см. Найдите диаметр сферы.

Решение:

Длина линии пересечения сферы и плоскости - это длина окружности, которая получается в сечении. Если плоскость проходит через конец диаметра под углом 60° к нему, то радиус сечения можно найти следующим образом:

$$l = 5\pi$$

$$l=2\pi r \Rightarrow r = \frac{l}{2\pi} = \frac{5\pi}{2\pi} = 2.5 \text{ см}$$

Пусть R - радиус сферы, d - диаметр сферы. Тогда:

$$sin60^\circ = \frac{r}{R} = \frac{2.5}{R}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2.5}{R} \Rightarrow R = \frac{2.5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \text{ см}$$

$$d = 2R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$

Ответ:$$\frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$