499 Высота конуса равна 12 см, а его объём равен 324л см³. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Пусть h - высота конуса, V - объем конуса, R - радиус основания конуса, α - угол сектора, полученного при развертке боковой поверхности конуса, l - образующая конуса. $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$$ По условию h = 12 см, V = 324$$\pi$$ см³. Выразим радиус основания конуса: $$\pi R^2 = \frac{3V}{h} = \frac{3 \cdot 324\pi}{12} = \frac{972\pi}{12} = 81\pi$$ $$R^2 = 81$$ $$R = 9 \text{ см}$$. Образующая конуса: $$l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$. Угол сектора развертки: $$\alpha = \frac{R}{l} \cdot 360^\circ = \frac{9}{15} \cdot 360^\circ = \frac{3}{5} \cdot 360^\circ = 3 \cdot 72^\circ = 216^\circ$$ Ответ: 216°.