496 Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

Площадь основания конуса $$Q = \pi r^2$$, где r - радиус основания конуса. Площадь боковой поверхности $$P = \pi r l$$, где l - образующая конуса. Объём конуса $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$, где h - высота конуса. Выразим радиус основания из формулы площади основания: $$r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$$. Подставим это в формулу площади боковой поверхности: $$P = \pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}} l = \sqrt{\pi Q} l$$ Выразим образующую конуса: $$l = \frac{P}{\sqrt{\pi Q}}$$. Высоту конуса найдём из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(\frac{P}{\sqrt{\pi Q}})^2 - (\sqrt{\frac{Q}{\pi}})^2} = \sqrt{\frac{P^2}{\pi Q} - \frac{Q}{\pi}} = \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}}$$. Подставим известные значения в формулу объёма: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{Q}{\pi} \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{1}{3} Q \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{Q}{3} \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q(P^2 - Q^2)}{\pi}}$$. Ответ: $$V = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q(P^2 - Q^2)}{\pi}}$$