Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Для решения задачи нам понадобятся следующие формулы:

1. Площадь осевого сечения конуса: $$S = rac{1}{2} cdot 2r cdot h = r cdot h$$, где $$r$$ - радиус основания конуса, $$h$$ - высота конуса.

2. Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса: $$l^2 = r^2 + h^2$$, где $$l$$ - образующая конуса.

3. Объём конуса: $$V = rac{1}{3} pi r^2 h$$

Из условия задачи нам известно, что $$l = 13$$ см и $$S = 60$$ см². Таким образом, $$r cdot h = 60$$.

Также мы знаем, что $$r^2 + h^2 = l^2 = 13^2 = 169$$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$$ \begin{cases} rh = 60 \\ r^2 + h^2 = 169 \end{cases} $$

Выразим $$h$$ из первого уравнения: $$h = \frac{60}{r}$$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$r^2 + \left(\frac{60}{r}\right)^2 = 169$$.

Преобразуем уравнение: $$r^2 + \frac{3600}{r^2} = 169$$.

Умножим обе части уравнения на $$r^2$$: $$r^4 + 3600 = 169r^2$$.

Перенесем все члены в одну сторону, получим биквадратное уравнение: $$r^4 - 169r^2 + 3600 = 0$$.

Решим это биквадратное уравнение. Введем замену $$t = r^2$$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 169t + 3600 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-169)^2 - 4 cdot 1 cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$$.

Тогда $$t_1 = \frac{169 + \sqrt{14161}}{2} = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144$$.

$$t_2 = \frac{169 - \sqrt{14161}}{2} = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25$$.

Теперь найдем $$r$$:

Если $$t_1 = 144$$, то $$r_1 = \sqrt{144} = 12$$.

Если $$t_2 = 25$$, то $$r_2 = \sqrt{25} = 5$$.

Найдем соответствующие значения $$h$$:

Если $$r_1 = 12$$, то $$h_1 = \frac{60}{12} = 5$$.

Если $$r_2 = 5$$, то $$h_2 = \frac{60}{5} = 12$$.

Теперь найдем объём конуса для обоих вариантов:

$$V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (12^2) (5) = \frac{1}{3} \pi (144) (5) = 240\pi$$.

$$V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (5^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (25) (12) = 100\pi$$.

Таким образом, возможны два варианта ответа: $$240\pi$$ см³ и $$100\pi$$ см³.