502 В усечённом конусе известны высота һ, образующая 1 и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

Пусть h - высота усеченного конуса, l - образующая усеченного конуса, S - площадь боковой поверхности, V - объем усеченного конуса, R и r - радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса, Q - площадь осевого сечения. Площадь боковой поверхности усеченного конуса $$S = \pi (R + r) l $$. Площадь осевого сечения усеченного конуса $$Q = \frac{R + r}{2} \cdot 2h = (R + r) h $$. Объем усеченного конуса $$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) $$. Из $$S = \pi (R + r) l$$ получаем $$(R + r) = \frac{S}{\pi l}$$. Тогда $$Q = (R + r) h = \frac{S}{\pi l} h = \frac{Sh}{\pi l} $$. Из прямоугольного треугольника $$l^2 = h^2 + (R - r)^2$$, откуда $$(R - r) = \sqrt{l^2 - h^2} $$. $$R = \frac{(R + r) + (R - r)}{2} = \frac{\frac{S}{\pi l} + \sqrt{l^2 - h^2}}{2}$$. $$r = \frac{(R + r) - (R - r)}{2} = \frac{\frac{S}{\pi l} - \sqrt{l^2 - h^2}}{2}$$. $$R^2 = (\frac{\frac{S}{\pi l} + \sqrt{l^2 - h^2}}{2})^2 = \frac{1}{4} (\frac{S^2}{\pi^2 l^2} + \frac{2S}{\pi l} \sqrt{l^2 - h^2} + l^2 - h^2)$$. $$r^2 = (\frac{\frac{S}{\pi l} - \sqrt{l^2 - h^2}}{2})^2 = \frac{1}{4} (\frac{S^2}{\pi^2 l^2} - \frac{2S}{\pi l} \sqrt{l^2 - h^2} + l^2 - h^2)$$. $$Rr = \frac{(\frac{S}{\pi l} + \sqrt{l^2 - h^2})}{2} \cdot \frac{(\frac{S}{\pi l} - \sqrt{l^2 - h^2})}{2} = \frac{\frac{S^2}{\pi^2 l^2} - (l^2 - h^2)}{4}$$. $$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} (\frac{S^2}{\pi^2 l^2} + \frac{2S}{\pi l} \sqrt{l^2 - h^2} + l^2 - h^2) + \frac{1}{4} (\frac{S^2}{\pi^2 l^2} - (l^2 - h^2)) + \frac{1}{4} (\frac{S^2}{\pi^2 l^2} - \frac{2S}{\pi l} \sqrt{l^2 - h^2} + l^2 - h^2) = \frac{1}{4}(\frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2)$$. $$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi h \frac{1}{4}(\frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2) = \frac{\pi h}{12} (\frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2) = \frac{h}{12} (\frac{3S^2}{\pi l^2} + \pi l^2 - \pi h^2)$$. Ответ: $$Q = \frac{Sh}{\pi l}$$, $$V = \frac{h}{12} (\frac{3S^2}{\pi l^2} + \pi l^2 - \pi h^2)$$