5. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если АВ = 23 см, ВС = 7 см, ∠A = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABD: $$\cos A = \frac{AD}{AB}$$. $$AD = AB \cdot \cos A = 23 \cdot \cos 60° = 23 \cdot \frac{1}{2} = 11.5$$ см. В прямоугольном треугольнике ABD: $$BD = AB \cdot \sin A = 23 \cdot \sin 60° = 23 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{23\sqrt{3}}{2}$$ см. В прямоугольном треугольнике BCD: $$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{7^2 - (\frac{23\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{49 - \frac{23^2 \cdot 3}{4}} = \sqrt{49 - \frac{529 \cdot 3}{4}} = \sqrt{49 - \frac{1587}{4}} = \sqrt{\frac{196 - 1587}{4}} = \sqrt{\frac{-1391}{4}}$$. Так как под корнем отрицательное число, то такой треугольник не существует, либо в условии опечатка. Предположим, что AB = 13 см. $$AD = AB \cdot \cos A = 13 \cdot \cos 60° = 13 \cdot \frac{1}{2} = 6.5$$ см. $$BD = AB \cdot \sin A = 13 \cdot \sin 60° = 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{13\sqrt{3}}{2}$$ см. В прямоугольном треугольнике BCD: $$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{7^2 - (\frac{13\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{49 - \frac{169 \cdot 3}{4}} = \sqrt{49 - \frac{507}{4}} = \sqrt{\frac{196 - 507}{4}} = \sqrt{\frac{-311}{4}}$$. В этом случае тоже под корнем отрицательное число. Проверим еще раз условие. Ответ: Решения нет, так как не выполняется условие существования треугольника.