6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB = CD, AC перпендикулярна CD. Пусть угол между диагональю AC и высотой трапеции CE равен α. Радиус описанной окружности равен R. Надо найти высоту CE. Так как диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то треугольник ACD прямоугольный, и AC является диаметром описанной окружности. Следовательно, AC = 2R. В прямоугольном треугольнике ACE: $$\sin \alpha = \frac{AE}{AC}$$. Значит, $$AE = AC \cdot \sin \alpha = 2R \sin \alpha$$. Также в прямоугольном треугольнике ACE: $$\cos \alpha = \frac{CE}{AC}$$. Следовательно, $$CE = AC \cdot \cos \alpha = 2R \cos \alpha$$. Ответ: Высота трапеции равна $$2R \cos \alpha$$.