4. В равнобокой трапеции АBCD AB = CD = 6 см, ВС = 8 см, AD = 12 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции.

Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (12 - 8) / 2 = 2 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AH = 2 см, AB = 6 см. $$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$. $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$, значит, $$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$. $$\tg A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$$. $$\ctg A = \frac{1}{\tg A} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Ответ: $$\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$, $$\cos A = \frac{1}{3}$$, $$\tg A = 2\sqrt{2}$$, $$\ctg A = \frac{\sqrt{2}}{4}$$