Вариант А2. Задача 1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной AB.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника:
   Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол B: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 100° - 40° = 40° \>.
   Так как \( \angle B = \angle C = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным. Боковые стороны — это стороны, равные боковым углам, то есть AC и AB.
2. б) Нахождение углов, которые биссектриса СК образует со стороной AB:
   По условию, СК — биссектриса угла C. Это значит, что она делит угол C пополам: \( \(\angle\) ACK = \(\angle\) KCB = \(\angle\) C / 2 = 40° / 2 = 20° \>.
   Рассмотрим треугольник ACK. Сумма углов треугольника равна 180°: \( \(\angle\) AKC = 180° - \(\angle\) A - \(\angle\) ACK = 180° - 100° - 20° = 60° \>.
   Угол AKC и угол CKB являются смежными, их сумма равна 180°. Найдем угол CKB: \( \(\angle\) CKB = 180° - \(\angle\) AKC = 180° - 60° = 120° \>.
   Рассмотрим треугольник CKB. Сумма углов треугольника равна 180°: \( \(\angle\) KBC + \(\angle\) CKB + \(\angle\) BKC = 180° \>.
   \( \(\angle\) KBC + 120° + 40° = 180° \>.
   \( \(\angle\) KBC = 180° - 160° = 20° \>.
   Биссектриса СК образует со стороной AB два угла: угол ∠ACK = 20° и угол ∠BKC (который не является углом между СК и AB, так как K лежит на AB).
   Нас просят найти углы, которые биссектриса СК образует со стороной AB. Эти углы — ∠ACK и ∠BCK, но так как K лежит на AB, то мы рассматриваем углы, образованные СК и сторонами треугольника AB и BC, т.е. ∠BCK и ∠ACK. Однако, это углы при вершине C.
   Правильнее рассматривать углы, образованные биссектрисой и стороной AB. Точка K лежит на стороне AB. Значит, мы ищем углы ∠CKA и ∠CKB. Но это углы, образованные биссектрисой и стороной AB.
   Так как K лежит на AB, то углы, которые СК образует со стороной AB, это углы ∠CKA и ∠CKB.
   ∠CKA = 60°, ∠CKB = 120°.
   Однако, формулировка «углы, которые она образует со стороной AB» может подразумевать углы, где одна сторона — биссектриса, а другая — часть стороны AB.
   Рассмотрим, какие углы образует биссектриса СК со стороной AB. Это углы, где одна из сторон — СК, а другая — часть стороны AB. Это ∠ACK и ∠BCK. Но K находится на AB.
   Углы, которые образует биссектриса со стороной AB:
   Если K - точка на AB, то мы ищем углы ∠CKA и ∠CKB.
   ∠CKA = 60°, ∠CKB = 120°.
   В треугольнике ACK: ∠CAK = 100°, ∠ACK = 20°, ∠AKC = 60°.
   В треугольнике BCK: ∠CBK = 40°, ∠BCK = 20°, ∠BKC = 120°.
   Биссектриса СК образует со стороной AB углы ∠CKA и ∠CKB.

Ответ: а) Треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AC и AB. б) Биссектриса СК образует со стороной AB углы 60° и 120°.