Вариант А1. Задача 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ΔAOC = ΔBOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°.

Решение:

1. а) Доказательство равенства треугольников:
   По условию, O — середина AB и CD, значит, \( AO = OB \) и \( CO = OD \>.
   Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOD \>.
   По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AOC = \triangle BOD \> (AO = OB, CO = OD, \angle AOC = \angle BOD \>).
2. б) Нахождение ∠OAC:
   Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \> и \( \angle OCA = \angle ODB \>.
   По условию, \( \angle ODB = 20° \), значит, \( \angle OCA = 20° \>.
   В треугольнике AOC: \( \angle OAC + \angle AOC + \angle OCA = 180° \>.
   \( \angle OAC + 115° + 20° = 180° \>.
   \\(\angle OAC = 180° - 115° - 20° = 45° \>.

Ответ: а\) Доказано по первому признаку равенства треугольников. б) ∠OAC = 45°.