Вариант А1. Задача 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок BM - высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника:
   Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол B: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 55° = 55° \).
   Так как \( \angle B = \angle C = 55° \), то треугольник ABC является равнобедренным. Основание треугольника — сторона, противоположная углу при вершине (углу, отличающемуся от двух других), то есть сторона AB.
2. б) Нахождение углов, на которые высота BM делит угол ABC:
   Высота BM перпендикулярна основанию AC, значит, \( \angle BMA = 90° \).
   В прямоугольном треугольнике ABM: \( \angle ABM = 90° - \angle A = 90° - 70° = 20° \).
   В прямоугольном треугольнике CBM: \( \angle CBM = 90° - \angle C = 90° - 55° = 35° \>.
   Угол ABC равен \\(\angle ABM + \angle CBM = 20° + 35° = 55° \>, что совпадает с ранее найденным углом B.

Ответ: а\) Треугольник ABC равнобедренный с основанием AB. б) Высота BM делит угол ABC на углы 20° и 35°.