Вариант 2. 4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан, MN = x, MK = y, MO = k·(x + y). Найдите число k.

Пусть T — середина NK. Тогда \(\overrightarrow{MT}=\frac12(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK})=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины M. Значит, \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MT}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Сравнивая с \(\overrightarrow{MO}=k(\vec x+\vec y)\), получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).