Вариант 2. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Положим начало отсчёта в точке B: \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\). Тогда \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\), поскольку квадрат является параллелограммом.

1. O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. Так как P — середина CD, \(\overrightarrow{CP}=\frac12\vec x\). Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\vec y+\frac12\vec x\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\vec y+\frac12\vec x)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).