Вариант 1, Задача 5: Упростите выражение \( \left( \frac{a}{a-c} + \frac{2ac}{a^2-2ac+c^2} \right) \cdot \left( \frac{4ac}{a+c} - a - c \right) \).

Решение:

1. Упростим первое выражение в скобках:
   \( \frac{a}{a-c} + \frac{2ac}{(a-c)^2} = \frac{a(a-c) + 2ac}{(a-c)^2} = \frac{a^2 - ac + 2ac}{(a-c)^2} = \frac{a^2 + ac}{(a-c)^2} = \frac{a(a+c)}{(a-c)^2} \)
2. Упростим второе выражение в скобках:
   \( \frac{4ac}{a+c} - (a+c) = \frac{4ac - (a+c)^2}{a+c} = \frac{4ac - (a^2 + 2ac + c^2)}{a+c} = \frac{4ac - a^2 - 2ac - c^2}{a+c} = \frac{-a^2 + 2ac - c^2}{a+c} = \frac{-(a^2 - 2ac + c^2)}{a+c} = \frac{-(a-c)^2}{a+c} \)
3. Перемножим упрощённые выражения:
   \( \frac{a(a+c)}{(a-c)^2} \cdot \frac{-(a-c)^2}{a+c} \)
4. Сократим \( (a+c) \) и \( (a-c)^2 \):
   \( -a \)

Ответ: \( -a \)