В6. Решите уравнение: 3cos2x + 2sinx - 3 = 0.

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
2. Подставим её в уравнение: \( 3(1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x - 3 = 0 \).
3. Раскроем скобки: \( 3 - 6\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0 \).
4. Упростим: \( -6\sin^2 x + 2\sin x = 0 \).
5. Вынесем общий множитель \( -2\sin x \): \( -2\sin x (3\sin x - 1) = 0 \).
6. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( -2\sin x = 0 \) \( \implies \sin x = 0 \).
• \( 3\sin x - 1 = 0 \) \( \implies 3\sin x = 1 \) \( \implies \sin x = \frac{1}{3} \).
7. Найдем значения \( x \):
• Из \( \sin x = 0 \) следует \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Из \( \sin x = \frac{1}{3} \) следует \( x = \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n \) или \( x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi k \), \( x = \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n \), \( x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).