С1. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Определите угол при основании.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Угол при основании \( ∠ BAC = ∠ BCA \). Пусть это будет \( ∠ q \).

Проведём биссектрису CL угла C. По условию, CL = AC (основание треугольника).

В треугольнике ACL, CL = AC, значит, треугольник ACL равнобедренный. Следовательно, \( ∠ CAL = ∠ CLА \).

Так как CL — биссектриса \( ∠ C \), то \( ∠ ACL = ∠ BCL = ∠ C / 2 = ∠ q / 2 \).

Угол \( ∠ CLА \) является внешним для треугольника BCL. Поэтому \( ∠ CLА = ∠ B + ∠ BCL \).

\( ∠ CLА = ∠ q + ∠ q / 2 = 3∠ q / 2 \).

Так как \( ∠ CAL = ∠ CLА \), то \( ∠ q = 3∠ q / 2 \).

Это возможно только если \( ∠ q = 0 \), что не является углом треугольника.

Проверим другое основание, если основание — AC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB = BC. Проведём биссектрису AL угла A. По условию, AL = AC.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ BCA = ∠ q \).

AL — биссектриса \( ∠ BAC \), значит, \( ∠ CAL = ∠ BAL = ∠ q / 2 \).

В треугольнике ALC, AL = AC, значит, он равнобедренный. Следовательно, \( ∠ ALC = ∠ ACL = ∠ q \).

Угол \( ∠ ALC \) является внешним для треугольника ABL. Поэтому \( ∠ ALC = ∠ BAL + ∠ B \).

\( ∠ q = ∠ q / 2 + ∠ B \).

\( ∠ B = ∠ q - ∠ q / 2 = ∠ q / 2 \).

Теперь рассмотрим сумму углов треугольника ABC:

\( ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° \)

\( ∠ q + ∠ q / 2 + ∠ q = 180° \)

\( 2.5 ∠ q = 180° \)

\( ∠ q = 180° / 2.5 \)

\( ∠ q = 72° \).

Угол при основании равен 72°, угол при вершине равен \( 180° - 72° - 72° = 36° \).

Ответ: 72°.