В ящике три красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Всего в ящике 3 красных (К) и 2 синих (С) фломастера. Общее количество фломастеров = 3 + 2 = 5.

Нас интересует событие, когда синий фломастер (С) появляется третьим по счету. Это означает, что первые два фломастера должны быть красными (К).

Последовательность вытаскивания фломастеров будет такой: К, К, С, ...

Рассмотрим вероятность каждого шага:

1. Вероятность вытащить первый красный фломастер: \( P(1-й К) = \frac{3}{5} \) (3 красных из 5 всего).
2. Вероятность вытащить второй красный фломастер (при условии, что первый был красный): После первого красного фломастера осталось 2 красных и 2 синих, всего 4 фломастера. \( P(2-й К | 1-й К) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
3. Вероятность вытащить третий синий фломастер (при условии, что первые два были красные): После двух красных фломастеров осталось 1 красный и 2 синих, всего 3 фломастера. \( P(3-й С | 1-й К, 2-й К) = \frac{2}{3} \) (2 синих из 3 всего).

Чтобы найти вероятность всей последовательности (К, К, С), нужно перемножить вероятности каждого шага:

\( P(\text{К, К, С}) = P(1-й К) · P(2-й К | 1-й К) · P(3-й С | 1-й К, 2-й К) \)

\( P(\text{К, К, С}) = \frac{3}{5} · \frac{1}{2} · \frac{2}{3} \)

\( P(\text{К, К, С}) = \frac{3 · 1 · 2}{5 · 2 · 3} = \frac{6}{30} \)

Упростим дробь:

\( P(\text{К, К, С}) = \frac{1}{5} \)

Ответ: \(\frac{1}{5}\).