в) y = tg \(\sqrt{x}\) + \(\frac{1}{ctg (2x-1)}\)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = g \sqrt{x} + \frac{1}{\ctg (2x-1)} \) применим правила дифференцирования.

Сначала упростим функцию: \( \frac{1}{\ctg (2x-1)} = g (2x-1) \).

Итак, \( y = g \sqrt{x} + g (2x-1) \).

1. Производная от \( g \sqrt{x} \):
• Пусть \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \), тогда \( u' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная от \( g u \) равна \( \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u' \).
• Следовательно, \( ( g \sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x} \cos^2 \sqrt{x}} \).
2. Производная от \( g (2x-1) \):
• Пусть \( v = 2x-1 \), тогда \( v' = 2 \).
• Производная от \( g v \) равна \( \frac{1}{\cos^2 v} \cdot v' \).
• Следовательно, \( ( g (2x-1))' = \frac{1}{\cos^2 (2x-1)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 (2x-1)} \).

Складывая производные:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x} \cos^2 \sqrt{x}} + \frac{2}{\cos^2 (2x-1)} \]

Ответ: y' = \( \frac{1}{2\sqrt{x} \cos^2 \sqrt{x}} + \frac{2}{\cos^2 (2x-1)} \).