e) y = x^2 $\cdot$ 10^{-x+2}

Question

$Фото задания: e) y = x^2 $\cdot$ 10^{-x+2}$ Фото задания

Accepted Answer

Для нахождения производной произведения функций $ y = x^2 \cdot 10^{-x+2} $ используем правило дифференцирования произведения: $ (uv)' = u'v + uv' $.

Здесь $ u = x^2 $ и $ v = 10^{-x+2} $.

Найдём производные $ u' $ и $ v' $:

$ u' = (x^2)' = 2x $.
$ v' = (10^{-x+2})' $. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная $ a^t $ равна $ a^t \ln a $. Пусть $ t = -x+2 $, тогда $ t' = -1 $.
$ v' = 10^{-x+2} \cdot \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x+2} \ln 10 $.

Подставим в формулу производной произведения:

\[ y' = 2x \cdot 10^{-x+2} + x^2 \cdot (-10^{-x+2} \ln 10) \]

Вынесем общий множитель $ 10^{-x+2} $:

\[ y' = 10^{-x+2} (2x - x^2 \ln 10) \]

Ответ: y' = $ 10^{-x+2} (2x - x^2 \ln 10) $.

e) y = x^2 \(\cdot\) 10^{-x+2}