n) y = \(1 + \sqrt{1+x}\)^2

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = (1 + \sqrt{1+x})^2 \) используем правило дифференцирования сложной функции.

Пусть \( u = 1 + \sqrt{1+x} \). Тогда \( y = u^2 \) и \( y' = 2u \cdot u' \).

Найдём производную \( u' \):

• \( u' = (1 + \sqrt{1+x})' \).
• Производная от \( 1 \) равна \( 0 \).
• Производная от \( \sqrt{1+x} \) находится с помощью правила дифференцирования сложной функции. Пусть \( v = 1+x \), тогда \( \sqrt{v} \). Производная \( \sqrt{v} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{v}} \), а \( v' = 1 \).
• Следовательно, \( (\sqrt{1+x})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \).

Итак, \( u' = 0 + \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \).

Теперь подставим \( u \) и \( u' \) в формулу для \( y' \):

\[ y' = 2(1 + \sqrt{1+x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \]

Сократим двойки:

\[ y' = \frac{1 + \sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} \]

Можно также представить ответ как:

\[ y' = \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{\sqrt{1+x}} + 1 \]

Ответ: y' = \( \frac{1 + \sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{1+x}} \).