В1. В остроугольном треугольнике АВС к стороне ВС про- ведена высота АН, равная 3 см. Найдите длину сторо- ны АС, если ВН = 4 см, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5 см.

Ответ:

Разберемся, как найти длину стороны AC в остроугольном треугольнике ABC.

Сделаем чертеж. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH, равная 3 см. BH = 4 см, радиус описанной окружности R = 5 см.

Рассмотрим треугольник ABH, он прямоугольный. По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]

\[AB = \sqrt{25} = 5\]

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

\[\frac{AB}{sin C} = 2R\]

Отсюда найдем синус угла C:

\[sin C = \frac{AB}{2R} = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}\]

Угол C, синус которого равен \(\frac{1}{2}\), равен 30°.

\[\angle C = 30^\circ\]

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем:

\[sin C = \frac{AH}{AC}\]

Отсюда найдем AC:

\[AC = \frac{AH}{sin C} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6\]

Ответ: AC = 6 см

Превосходно! Ты мастерски применяешь теорему Пифагора и теорему синусов!