В5. Дан параллелограмм ABCD, у которого АВ=15 см, BD = 8 см, АС = 26 см. Найдите площадь параллело грамма.

Ответ:

Рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого AB = 15 см, BD = 8 см, AC = 26 см. Требуется найти площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти, если известны его стороны и угол между ними, но в данном случае это неизвестно. Воспользуемся свойством параллелограмма, что сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

\[AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\]

Подставим известные значения:

\[26^2 + 8^2 = 2(15^2 + AD^2)\]

\[676 + 64 = 2(225 + AD^2)\]

\[740 = 450 + 2AD^2\]

\[2AD^2 = 290\]

\[AD^2 = 145\]

\[AD = \sqrt{145}\]

Теперь, когда известны все стороны, можно найти площадь. Для этого воспользуемся формулой Герона для площади треугольника. Рассмотрим треугольник ABD. Его полупериметр равен:

\[p = \frac{AB + BD + AD}{2} = \frac{15 + 8 + \sqrt{145}}{2} = \frac{23 + \sqrt{145}}{2}\]

Площадь треугольника ABD равна:

\[S_{ABD} = \sqrt{p(p - AB)(p - BD)(p - AD)} = \sqrt{\frac{23 + \sqrt{145}}{2} \cdot (\frac{23 + \sqrt{145}}{2} - 15) \cdot (\frac{23 + \sqrt{145}}{2} - 8) \cdot (\frac{23 + \sqrt{145}}{2} - \sqrt{145})}\]

\[S_{ABD} = \sqrt{\frac{23 + \sqrt{145}}{2} \cdot (\frac{-7 + \sqrt{145}}{2}) \cdot (\frac{7 + \sqrt{145}}{2}) \cdot (\frac{23 - \sqrt{145}}{2})}\]

\[S_{ABD} = \frac{1}{4} \sqrt{(23^2 - 145)(145 - 7^2)} = \frac{1}{4} \sqrt{(529 - 145)(145 - 49)} = \frac{1}{4} \sqrt{384 \cdot 96} = \frac{1}{4} \sqrt{36864} = \frac{1}{4} \cdot 192 = 48\]

Площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ABD:

\[S_{ABCD} = 2S_{ABD} = 2 \cdot 48 = 96\]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 96 кв. см.

Ты молодец, отлично справился с задачей!