В4. Дан параллелограмм ABCD, ∠BAC = 45°, ∠DAC = 30°, AD = 4√2 см. Найдите сторону АВ параллелограмма.

Ответ:

Предлагаю найти сторону AB параллелограмма ABCD.

В параллелограмме ABCD известны углы \(\angle BAC = 45^\circ\) и \(\angle DAC = 30^\circ\), а также сторона \(AD = 4\sqrt{2}\) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC = AD = \(4\sqrt{2}\) см.

Рассмотрим треугольник ADC. Угол \(\angle ADC\) равен \(180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ\).

Также в параллелограмме углы BAD и BCD равны, следовательно, угол \(\angle BAD = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ\).

Рассмотрим треугольник ABC. В нём \(\angle BAC = 45^\circ\) и BC = \(4\sqrt{2}\) см. Угол \(\angle BCA = \angle DAC = 30^\circ\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

\[\frac{AB}{sin \angle BCA} = \frac{BC}{sin \angle BAC}\]

\[\frac{AB}{sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{sin 45^\circ}\]

\[AB = \frac{4\sqrt{2} \cdot sin 30^\circ}{sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\]

Ответ: Сторона AB параллелограмма равна 4 см.

Отличная работа! Ты отлично разбираешься в свойствах параллелограммов!