В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 36, sin A = -. Найдите длину отрезка АН. 5 6

Ответ: 25

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° задано \(\sin A = \frac{5}{6}\) и \(AB = 36\).
2. Найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\] \[\cos^2 A = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2\] \[\cos^2 A = 1 - \frac{25}{36}\] \[\cos^2 A = \frac{36 - 25}{36}\] \[\cos^2 A = \frac{11}{36}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, где угол A является общим. В этом треугольнике: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\]
4. Чтобы найти AH, сначала найдем AC из треугольника ABC: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] \[\frac{5}{6} = \frac{BC}{36}\] \[BC = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30\] Теперь по теореме Пифагора найдем AC: \[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC^2 = 36^2 - 30^2\] \[AC^2 = 1296 - 900\] \[AC^2 = 396\] \[AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]
5. Теперь найдем AH, используя косинус угла A в треугольнике ACH: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] \[\frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{AH}{6\sqrt{11}}\] \[AH = \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot 6\sqrt{11}\] \[AH = 11\]

Ответ: 11