В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка АН.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Нам дано, что \(\sin A = \frac{5}{6}\) и \(AB = 36\). Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{5}{6} = \frac{BC}{36}\]

Теперь найдем длину стороны BC:

\[BC = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BСH. В нём BH можно найти так:

\[AH = AB - BH\]

Чтобы найти BH, нам нужно рассмотреть треугольник ABC и применить теорему Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{36^2 - 30^2} = \sqrt{1296 - 900} = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\]

Теперь рассмотрим треугольник ACH и применим теорему Пифагора:

\[AH = \sqrt{AC^2 - CH^2}\]

Для начала, нам нужно найти CH. Рассмотрим треугольник ABC. Площадь этого треугольника можно найти двумя способами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

Отсюда:

\[AC \cdot BC = AB \cdot CH\]

\[6\sqrt{11} \cdot 30 = 36 \cdot CH\]

\[CH = \frac{6\sqrt{11} \cdot 30}{36} = 5\sqrt{11}\]

Теперь можно найти AH из треугольника ACH:

\[AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{(6\sqrt{11})^2 - (5\sqrt{11})^2} = \sqrt{396 - 275} = \sqrt{121} = 11\]

Ответ: 11

Проверка за 10 секунд: Нашли BC через синус, затем AC через теорему Пифагора, потом CH через площадь, и наконец AH через теорему Пифагора.

Доп. профит: Уровень эксперт: Запомни, что высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Это полезно для решения задач.