4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgA = √65 4 , AB = 36. Найдите АС.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) тангенс угла A (tgA) определяется как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

$$tgA = \frac{BC}{AC}$$

Из условия дано: $$tgA = \frac{\sqrt{65}}{4}$$. Следовательно,

$$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{65}}{4}$$.

Отсюда: $$BC = AC \cdot \frac{\sqrt{65}}{4}$$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим выражение для BC:

$$36^2 = AC^2 + (AC \cdot \frac{\sqrt{65}}{4})^2$$

$$1296 = AC^2 + AC^2 \cdot \frac{65}{16}$$

$$1296 = AC^2 (1 + \frac{65}{16})$$

$$1296 = AC^2 (\frac{16 + 65}{16})$$

$$1296 = AC^2 \cdot \frac{81}{16}$$

$$AC^2 = \frac{1296 \cdot 16}{81}$$

$$AC^2 = \frac{20736}{81}$$

$$AC^2 = 256$$

$$AC = \sqrt{256}$$

$$AC = 16$$

Ответ: 16