148. В треугольнике АВС из- вестно, что ∠C=90°, ∠A = = 30°. Биссектриса угла В пересекает катет АС в точке М. Найдите ВМ, если AM - CM = 4 см.

В треугольнике ABC: \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\). Биссектриса угла B пересекает катет AC в точке M. AM - CM = 4 см. Найти BM.

1. \(\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\)
2. BM - биссектриса, следовательно \(\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\)
3. \(\triangle ABM\) - равнобедренный, так как \(\angle A = \angle ABM\), следовательно, BM = AM.
4. Обозначим CM = x, тогда AM = x + 4
5. AM = BC, следовательно BC = x + 4
6. \(tg A = \frac{BC}{AC}\), \(AC = AM + CM = x + 4 + x = 2x + 4\)
7. \(tg 30^\circ = \frac{x + 4}{2x + 4}\) , \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x + 4}{2x + 4}\), \(\sqrt{3} (2x + 4) = 3(x + 4)\)
8. \(2\sqrt{3} x + 4\sqrt{3} = 3x + 12\), \(3x - 2\sqrt{3} x = 4\sqrt{3} - 12\), \(x(3 - 2\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} - 3)\)
9. \(x = \frac{4(\sqrt{3} - 3)}{3 - 2\sqrt{3}} \approx 6.93\)
10. \(AM = x + 4 = 6.93 + 4 = 10.93\)
11. BM = AM = 10.93

Ответ: 10.93