В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C=67 и BM=AM=MC

Ответ:

1. BM = AM = MC, значит, M - середина AC.
2. Треугольник BMA - равнобедренный, так как BM = AM. Значит, углы при основании равны: ∠MBA = ∠MAB.
3. Аналогично, треугольник BMC - равнобедренный, так как BM = MC. Значит, углы при основании равны: ∠MBC = ∠MCB.
4. Из условия задачи ∠C = 67°. Следовательно, ∠MBC = ∠MCB = 67°.
5. ∠ABC = ∠MBA + ∠MBC.
6. В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
7. Подставляем известные значения: ∠A + (∠MBA + ∠MBC) + ∠C = 180°.
8. Т.к. ∠MBC = 67°, ∠C = 67° и ∠MBA = ∠A, получаем: ∠A + (∠A + 67°) + 67° = 180°.
9. 2∠A + 134° = 180°.
10. 2∠A = 46°.
11. ∠A = 23°.

Ответ: ∠A = 23°