Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ:

1. В ромбе ABCD диагональ AC равна 36, значит, AO = OC = 18, где O - точка пересечения диагоналей.
2. Тангенс угла BCA равен \(\frac{4}{3}\), то есть \(\frac{BO}{OC} = \frac{4}{3}\).
3. Отсюда находим BO: \(BO = \frac{4}{3} \cdot OC = \frac{4}{3} \cdot 18 = 24\).
4. Сторона ромба BC находится по теореме Пифагора из треугольника BOC: \(BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30\).
5. Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты. Высота ромба может быть найдена через площадь: \(S = BC \cdot h\) или \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\), где h - высота, BD - вторая диагональ.
6. Находим BD: BD = 2 ⋅ BO = 2 ⋅ 24 = 48.
7. Приравниваем площади: \(BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\).
8. Подставляем известные значения: \(30 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 48\).
9. Находим высоту: \(h = \frac{36 \cdot 48}{2 \cdot 30} = \frac{36 \cdot 48}{60} = \frac{6 \cdot 48}{10} = \frac{288}{10} = 28.8\).
10. Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{h}{2} = \frac{28.8}{2} = 14.4\).

Ответ: 14.4