В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, tg A = √7/3. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 9√8

Решение:

• Шаг 1: Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны. Следовательно, \(\angle A = \angle B\).
• Шаг 2: Используем теорему косинусов для стороны AB: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\] Так как AC = BC, можно записать: \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos C\] \[18^2 = 2AC^2(1 - \cos C)\]
• Шаг 3: Найдем \(\cos A\) из \(\tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Поскольку \(\tg A = \frac{\sin A}{\cos A}\), то \(\sin A = \frac{\sqrt{7}}{3} \cos A\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[(\frac{\sqrt{7}}{3} \cos A)^2 + \cos^2 A = 1\] \[\frac{7}{9} \cos^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\frac{16}{9} \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = \frac{9}{16}\] \[\cos A = \frac{3}{4}\] Угол \(C = 180 - 2A\). Тогда \(\cos C = -\cos(2A)\) (так как \(\cos(180 - x) = -\cos x\)). \[\cos C = -\cos(2A) = -(2\cos^2 A - 1) = -(2 \cdot \frac{9}{16} - 1) = -( \frac{9}{8} - 1) = -\frac{1}{8}\]
• Шаг 4: Подставим найденное значение \(\cos C\) в уравнение из шага 2: \[18^2 = 2AC^2(1 - (-\frac{1}{8}))\] \[324 = 2AC^2 \cdot \frac{9}{8}\] \[324 = AC^2 \cdot \frac{9}{4}\] \[AC^2 = \frac{324 \cdot 4}{9} = 36 \cdot 4 = 144\] \[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12