32. В треугольнике ABC AB=BC, AC=20, высота CH равна 16. Найдите синус угла ACB.

$$
ewline$$Треугольник ABC равнобедренный, AB=BC, CH - высота, проведённая к основанию AC. Значит, CH является и медианой.
ewline$$Тогда AH = HC = AC/2 = 20/2 = 10.
ewline$$Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. Чтобы найти синус угла ACB, необходимо знать сторону HB.
ewline$$По теореме Пифагора в треугольнике CHB:
ewline$$BC^2 = CH^2 + HB^2$$
ewline$$В прямоугольном треугольнике CHA:
ewline$$BC = AB$$
ewline$$AB^2 = AH^2 + CH^2$$
ewline$$AB^2 = 10^2 + 16^2 = 100 + 256 = 356$$
ewline$$AB = \sqrt{356}$$
ewline$$BC = \sqrt{356}$$
ewline$$HB^2 = BC^2 - CH^2 = 356 - 16^2 = 356 - 256 = 100$$
ewline$$HB = \sqrt{100} = 10$$
ewline$$Теперь найдем синус угла ACB в треугольнике CHB:
ewline$$\sin(\angle ACB) = \frac{HB}{BC} = \frac{10}{\sqrt{356}} = \frac{10}{2\sqrt{89}} = \frac{5}{\sqrt{89}} = \frac{5\sqrt{89}}{89}$$
ewline$$
ewline$$Ответ: $$\frac{5\sqrt{89}}{89}$$