262 В треугольниках АВС и А,В,С₁ углы А и А₁ прямые, BD и В1D1 биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆АВС, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

Пусть даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, где углы A и A₁ прямые, BD и B₁D₁ - биссектрисы углов B и B₁. Угол B = углу B₁ и BD = B₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. В них:

Угол A = углу A₁ = 90° (по условию)

BD = B₁D₁ (по условию)

Угол ABD = углу A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, а угол B = углу B₁)

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу.

Значит, AB = A₁B₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В них:

Угол A = углу A₁ = 90° (по условию)

AB = A₁B₁ (доказано выше)

Угол B = углу B₁ (по условию)

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано