262 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ – прямые, BD и B₁D₁ – биссектрисы. Докажите, что ΔABC=ΔA₁B₁C₁, если ∠B=∠B₁ и BD=B₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. В них:

1) BD = B₁D₁ (по условию)

2) ∠ABD = 1/2 * ∠B, ∠A₁B₁D₁ = 1/2 * ∠B₁. Так как ∠B = ∠B₁, то ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

3) ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство катетов AB = A₁B₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В них:

1) AB = A₁B₁ (доказано выше)

2) ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)

3) ∠B = ∠B₁ (по условию)

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

Ответ: Доказано