257 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+АВ=18 см, Найдите АС и АВ.

Внешний угол при вершине А равен 120°, значит, внутренний угол при вершине А равен 180° - 120° = 60°.

В прямоугольном треугольнике АВС угол С = 90°, угол А = 60°, следовательно, угол В = 180° - 90° - 60° = 30°.

Катет АС лежит против угла в 30°, следовательно, гипотенуза АВ в два раза больше катета АС. Обозначим АС = x, тогда АВ = 2x.

По условию АС + АВ = 18 см.

Тогда:

$$x + 2x = 18$$

$$3x = 18$$

$$x = 6$$

АС = 6 см, тогда АВ = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см