539 В треугольник МNK вписан ромб MDEF так, что верши ны D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE И ЕК, если МN = 7 см, NК =6 см МК = 5 см.

Пусть NE = x, тогда EK = NK - x = 6 - x. Так как MDEF - ромб, то MD || EF, следовательно, треугольник NEF подобен треугольнику NMK. Тогда выполняется соотношение:

$$\frac{NE}{NK} = \frac{EF}{MK}$$

EF = MD, так как MDEF - ромб, а MD = MN - ND. ND = EF, так как MDEF - ромб, тогда MD = MN - EF = 7 - EF. Подставим в соотношение:

$$\frac{x}{6} = \frac{EF}{5}$$ $$EF = \frac{5x}{6}$$

Тогда MD = 7 - EF = 7 - \frac{5x}{6}. MD = EF, следовательно,

$$7 - \frac{5x}{6} = \frac{5x}{6}$$ $$7 = \frac{10x}{6}$$ $$42 = 10x$$ $$x = 4.2$$

NE = x = 4.2 см, тогда

$$EK = 6 - 4.2 = 1.8$$

EK = 1.8 см.

Ответ: NE = 4.2 см, EK = 1.8 см