650. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где ABC ~ A₁B₁C₁.

Тогда $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$$, где k - коэффициент подобия.

Проведем высоты $$h_b$$ к стороне AC и $$h_{b1}$$ к стороне A₁C₁ в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно.

Площадь треугольника ABC равна:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b $$

Площадь треугольника A₁B₁C₁ равна:

$$ S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot h_{b1} $$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 $$

Подставим выражения для площадей:

$$ \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b}{\frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \cdot h_{b1}} = k^2 $$

$$\frac{AC \cdot h_b}{A_1C_1 \cdot h_{b1}} = k^2$$

Мы знаем, что $$\frac{AC}{A_1C_1} = k$$, поэтому:

$$ \frac{k \cdot h_b}{h_{b1}} = k^2 $$

$$\frac{h_b}{h_{b1}} = k$$

Таким образом, $$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{h_b}{h_{b1}} = k$$

Следовательно, отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. Что и требовалось доказать.