1. В равнобедренной трапеции с основаниями AD и ВС угол D равен 80°. Диагональ АС образует со стороной АВ угол 28°. Сколько градусов составляет угол между этой диаго- налью и меньшим основанием трапеции?

Ответ: 54°

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, угол \( A = D = 80^{\circ} \).
2. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Известно, что \( \angle BAC = 28^{\circ} \).
3. Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD \), и углы при основании равны.
4. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BAC \).
5. Угол \( ABC \) равен углу \( D \) (как углы при основании равнобедренной трапеции), то есть \( \angle ABC = 80^{\circ} \).
6. Тогда \( \angle BCA = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 28^{\circ} = 72^{\circ} \).
7. Угол между диагональю \( AC \) и меньшим основанием \( BC \) равен \( \angle BCA \).
8. Однако, нужно найти угол между диагональю и меньшим основанием, который образуется с продолжением диагонали. Обозначим этот угол как \( x \).
9. Угол \( x \) и \( \angle BCA \) являются смежными углами, следовательно, \( x + \angle BCA = 180^{\circ} \).
10. Тогда \( x = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).
11. Но нам нужен угол, который образуется внутри трапеции, то есть угол \( \angle ACB \).
12. Так как \( \angle BAC = 28^{\circ} \) и \( \angle ABC = 80^{\circ} \), то \( \angle BCA = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 80^{\circ} = 72^{\circ} \).
13. Угол между диагональю и меньшим основанием равен углу \( \angle BCA \), который равен \( 72^{\circ} \).
14. Но в задании спрашивается угол между диагональю и меньшим основанием, то есть нужно найти угол \( \angle CAD \).
15. \( \angle CAD = \angle BAC = 28^{\circ} \) (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).
16. Таким образом, угол между диагональю и меньшим основанием равен \( 80^{\circ} - 28^{\circ} = 52^{\circ} \).