6. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК=10см.MN =NK=20см. На стороне NK взята точка А так, что АК: AN = 1:3. Найдите длину АМ.

6. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK = 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK взята точка A так, что AK : AN = 1 : 3. Найдите длину AM.

Решение:

Так как AK : AN = 1 : 3, то NK делится на 4 части, тогда AK = (1/4)NK = (1/4) × 20 = 5 см, а AN = (3/4)NK = (3/4) × 20 = 15 см.

Рассмотрим треугольник AMN. Для нахождения AM применим теорему косинусов:

$$AM^2 = AN^2 + MN^2 - 2 \times AN \times MN \times \cos N$$.

В равнобедренном треугольнике MNK косинус угла N можно найти, проведя высоту из вершины N к основанию MK. Пусть H — середина MK. Тогда MH = (1/2)MK = (1/2) × 10 = 5 см.

$$ \cos N = \frac{NH}{MN}$$.

По теореме Пифагора в треугольнике MNH:

$$NH = \sqrt{MN^2 - MH^2} = \sqrt{20^2 - 5^2} = \sqrt{400 - 25} = \sqrt{375} = 5\sqrt{15} \text{ см}$$.

$$\cos N = \frac{5\sqrt{15}}{20} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$.

Тогда:

$$AM^2 = 15^2 + 20^2 - 2 \times 15 \times 20 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 225 + 400 - 300 \times \frac{\sqrt{15}}{2} = 625 - 150\sqrt{15}$$.

$$AM = \sqrt{625 - 150\sqrt{15}} \approx \sqrt{625 - 150 \times 3.873} = \sqrt{625 - 580.95} = \sqrt{44.05} \approx 6.637 \text{ см}$$.

Ответ: $$\sqrt{625 - 150\sqrt{15}} \approx 6.637 \text{ см}$$.