7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота BD. Найдите боковые стороны треугольника и высоту BD, если угол А равен а, АС = b.

Ответ: AB = BC = b/(2*cos(α)); BD = b*tg(α)/2

Разбираемся:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Значит, AD = DC = b/2.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.
3. Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AD к гипотенузе AB: \[cos(\alpha) = \frac{AD}{AB} = \frac{b/2}{AB}\] Выразим AB: \[AB = \frac{b}{2cos(\alpha)}\] Так как треугольник равнобедренный, AB = BC, значит, \[BC = \frac{b}{2cos(\alpha)}\]
4. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета BD к прилежащему AD: \[tg(\alpha) = \frac{BD}{AD} = \frac{BD}{b/2}\] Выразим BD: \[BD = \frac{b \cdot tg(\alpha)}{2}\]

Ответ: AB = BC = b/(2*cos(α)); BD = b*tg(α)/2