595 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен в, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

а) В прямоугольном треугольнике катет b прилежит углу α.

Обозначим:

• a – противолежащий катет,
• c – гипотенуза,
• β – угол, противолежащий катету a.

Тогда:

$$tg \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot tg \alpha$$.

$$cos \alpha = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{cos \alpha}$$.

Угол, прилежащий к катету a:

$$\beta = 90^\circ - \alpha$$.

б) Дано: b = 12 см, α = 42°.

$$a = 12 \cdot tg 42^\circ \approx 12 \cdot 0.9 \approx 10.8 \text{ см}$$.

$$c = \frac{12}{cos 42^\circ} \approx \frac{12}{0.74} \approx 16.2 \text{ см}$$.

$$\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$$.

Ответ: а) $$a = b \cdot tg \alpha$$, $$c = \frac{b}{cos \alpha}$$, $$\beta = 90^\circ - \alpha$$; б) a ≈ 10.8 см, c ≈ 16.2 см, β = 48°.