700 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен в, а противолежащий угол равен В. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β= 50°.

а) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, катет BC = b, угол BAC = β. Требуется выразить катет AC, противолежащий углу β, и гипотенузу AB через b и β.

Катет AC, противолежащий углу β, можно выразить через тангенс угла β:

$$tg β = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{AC}$$

$$AC = \frac{b}{tg β}$$

Гипотенузу AB можно выразить через синус угла β:

$$sin β = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{AB}$$

$$AB = \frac{b}{sin β}$$

б) Найдем значения AC и AB, если b = 10 см, β = 50°:

$$AC = \frac{10}{tg 50°}$$

$$AB = \frac{10}{sin 50°}$$

$$tg 50° ≈ 1,19$$

$$sin 50° ≈ 0,77$$

$$AC ≈ \frac{10}{1,19} ≈ 8,4 \text{ см}$$

$$AB ≈ \frac{10}{0,77} ≈ 13 \text{ см}$$

Ответ: AC = 8,4 см, AB = 13 см.