6. В прямоугольном треугольнике KMN (2M=90) проведена высота МН к гипотенуз. a) Докажите, что ДМНИ~ДКΜΝ. b) Найдите HN, если MN-12 см, КN=15 см. c) Найдите площадь треугольника КМН.

Решение:

a) Доказать, что ΔMHN подобен ΔKMN:

В прямоугольном треугольнике KMN (∠M = 90°) проведена высота MH к гипотенузе KN.

Доказательство: Рассмотрим треугольники ΔMHN и ΔKMN: ∠MHN = 90° (так как MH - высота), ∠KMN = 90° (по условию), ∠N - общий.

Следовательно, ΔMHN ~ ΔKMN (по двум углам).

b) Найти HN, если MN = 12 см, KN = 15 см:

Так как ΔMHN ~ ΔKMN, то: \(\frac{HN}{MN} = \frac{MN}{KN}\) \(\frac{HN}{12} = \frac{12}{15}\) \(HN = \frac{12 \cdot 12}{15} = \frac{144}{15} = 9.6\) см

c) Найти площадь треугольника KMH:

Сначала найдем KH: KH = KN - HN = 15 - 9.6 = 5.4 см

Теперь найдем MH, используя подобие треугольников ΔKMH и ΔKMN: \(\frac{MH}{KM} = \frac{HN}{MN}\) Чтобы найти KM, используем теорему Пифагора для треугольника KMN: \(KM^2 + MN^2 = KN^2\) \(KM^2 + 12^2 = 15^2\) \(KM^2 = 225 - 144 = 81\) KM = 9 см

Теперь найдем MH: \(\frac{MH}{9} = \frac{9.6}{12}\) \(MH = \frac{9 \cdot 9.6}{12} = \frac{86.4}{12} = 7.2\) см

Площадь треугольника KMH: \(S = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 5.4 \cdot 7.2 = 19.44\) кв. см

Ответ:

• a) ΔMHN ~ ΔKMN (по двум углам).
• b) HN = 9.6 см.
• c) Площадь треугольника KMH = 19.44 кв. см.