В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведены медиана СМ, высота СН и биссектриса CD (рис. 3). Известно, что ∠A = 35°. Найдите: ∠DCH; ∠MCH; ∠MCD.

Ответ: ∠DCH = 5°, ∠MCH = 20°, ∠MCD = 15°

1. Найдем ∠B:

   В прямоугольном треугольнике АВС ∠А + ∠В = 90°, значит ∠В = 90° - ∠А = 90° - 35° = 55°.

2. Найдем ∠ACH:

   В прямоугольном треугольнике АСН ∠А + ∠АСН = 90°, значит ∠АСН = 90° - ∠А = 90° - 35° = 55°.

3. Найдем ∠BCD:

   CD - биссектриса, значит ∠ACD = ∠BCD = 45°.

4. Найдем ∠DCH:

   ∠DCH = ∠ACH - ∠ACD = 55° - 45° = 10°.

5. Найдем ∠MCB:

   СМ - медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы, значит СМ = АМ = ВМ. Следовательно, треугольник СМВ равнобедренный, и углы при основании равны: ∠МСВ = ∠МВС = ∠В = 55°.

6. Найдем ∠АСМ:

   ∠АСМ = 90° - ∠МСВ = 90° - 55° = 35°.

7. Найдем ∠MCD:

   ∠MCD = ∠ACD - ∠ACM = 45° - 35° = 10°.

8. Найдем ∠MCH:

   ∠MCH = ∠АСН - ∠ACM = 55° - 35° = 20°.

Ответ: ∠DCH = 10°, ∠MCH = 20°, ∠MCD = 10°