В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен √3. Найдите скалярное произведение АВ · АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \), \( AC \) и \( BC \) являются катетами, а \( AB \) - гипотенузой.

Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) определяется как:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) \]

где \( |\vec{AC}| = AC = \sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике \( \cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} \).

Таким образом:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \frac{AC}{AB} = AC^2 \]

Подставляем значение \( AC \):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (\sqrt{3})^2 = 3 \]

Ответ: 3