36. В прямоугольном треугольнике АВС ка- тет АС=20, а высота СН, опущенная на ги- потенузу, равна 3√39. Найдите sin/ABC.

В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=20, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна $$3\sqrt{39}$$. Нужно найти синус угла АВС, то есть синус угла В.

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$$sin B = \frac{AC}{AB}$$.

Проблема в том, что нам неизвестна длина гипотенузы АВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН. В нем известны катет АС и высота СН.

Выразим площадь треугольника АВС двумя способами:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CH$$

Выразим катет ВС через тангенс угла В:

$$tg B = \frac{AC}{BC}$$, $$BC = \frac{AC}{tg B}$$.

Подставим в формулу площади:

$$\frac{1}{2}AC \cdot \frac{AC}{tg B} = \frac{1}{2}AB \cdot CH$$

$$\frac{AC^2}{tg B} = AB \cdot CH$$

Выразим АВ:

$$AB = \frac{AC^2}{CH \cdot tg B}$$.

Выразим тангенс угла В через синус:

$$tg B = \frac{sin B}{cos B} = \frac{sin B}{\sqrt{1 - sin^2 B}}$$.

$$AB = \frac{AC^2 \cdot \sqrt{1 - sin^2 B}}{CH \cdot sin B}$$.

Подставим это выражение в формулу синуса:

$$sin B = \frac{AC}{\frac{AC^2 \cdot \sqrt{1 - sin^2 B}}{CH \cdot sin B}} = \frac{AC \cdot CH \cdot sin B}{AC^2 \cdot \sqrt{1 - sin^2 B}}$$.

$$1 = \frac{CH}{AC \cdot \sqrt{1 - sin^2 B}}$$.

$$AC \cdot \sqrt{1 - sin^2 B} = CH$$.

$$\sqrt{1 - sin^2 B} = \frac{CH}{AC}$$.

$$1 - sin^2 B = \frac{CH^2}{AC^2}$$.

$$sin^2 B = 1 - \frac{CH^2}{AC^2}$$.

$$sin B = \sqrt{1 - \frac{CH^2}{AC^2}}$$.

$$sin B = \sqrt{1 - \frac{(3\sqrt{39})^2}{20^2}} = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 39}{400}} = \sqrt{1 - \frac{351}{400}} = \sqrt{\frac{49}{400}} = \frac{7}{20} = 0,35$$.

Ответ: 0,35